7.9 KB · ⇊ 3 parts · ⤓ Micron 7.9 KB · ⤓ HTML 58.0 KB

top

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

• Definition

• Beispiele

• Eigenschaften

• Verwandte Begriffe

• Unbeschränkte Operatoren

• Literatur

Ist X {\displaystyle X} ein Hilbertraum und bezeichnet L ( X ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X)} die Menge aller stetigen Endomorphismen von X {\displaystyle X} , so heißt ein Operator A ∈ ∈ L ( X ) {\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)} normal, falls er mit seinem adjungierten Operator A ∗ ∗ {\displaystyle A^{\ast }} kommutiert, also wenn

A A ∗ ∗ = A ∗ ∗ A {\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A}

gilt.

• Selbstadjungierte und unitäre Operatoren sind offenbar normal.

• Der unilaterale Shift ist ein Beispiel für einen nicht-normalen Operator.

Sei A ∈ ∈ L ( X ) {\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)} ein normaler Operator. Dann gilt:

• ‖ ‖ A x ‖ ‖ = ‖ ‖ A ∗ ∗ x ‖ ‖ {\displaystyle \|Ax\|=\|A^{\ast }x\|} für alle x ∈ ∈ X {\displaystyle x\in X}

• ‖ ‖ A x ‖ ‖ 2 ≤ ≤ ‖ ‖ A 2 x ‖ ‖ ‖ ‖ x ‖ ‖ {\displaystyle \|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|} für alle x ∈ ∈ X {\displaystyle x\in X}

• Die Operatornorm von A {\displaystyle A} ist gleich dem Spektralradius: ‖ ‖ A ‖ ‖ = sup { | λ λ | : : λ λ ∈ ∈ σ σ ( A ) } . {\displaystyle \|A\|=\sup\{|\lambda |\colon \lambda \in \sigma (A)\}.} Dabei bezeichnet σ σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} das Spektrum von A {\displaystyle A} .

• Die von A {\displaystyle A} erzeugte C*-Algebra und die von A {\displaystyle A} erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.

• Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.

• Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall { 0 } {\displaystyle \{0\}} ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.

• Ein beschränkter Operator A {\displaystyle A} in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in A = W 1 + i W 2 {\displaystyle A=W_{1}+i\,W_{2}} mit dem „Realteil“ W 1 = 1 2 ( A + A ∗ ∗ ) {\displaystyle W_{1}={\tfrac {1}{2}}(A+A^{\ast })} und dem „Imaginärteil“ W 2 = 1 2 i ( A − − A ∗ ∗ ) . {\displaystyle W_{2}={\tfrac {1}{2i}}(A-A^{\ast }).} Dabei sind die Operatoren W i {\displaystyle W_{i}} selbstadjungiert. A {\displaystyle A} ist genau dann normal, wenn W 1 W 2 = W 2 W 1 {\displaystyle W_{1}W_{2}=W_{2}W_{1}} .

Ein Operator A ∈ ∈ L ( X ) {\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)} heißt

• quasinormal, falls A {\displaystyle A\,\!} mit A ∗ ∗ A {\displaystyle A^{\ast }A} vertauscht, das heißt A A ∗ ∗ A = A ∗ ∗ A A {\displaystyle AA^{\ast }A=A^{\ast }AA} .

• subnormal, falls es einen Hilbertraum Y {\displaystyle Y} gibt, so dass X {\displaystyle X} Unterraum von Y {\displaystyle Y} ist, und einen normalen Operator B ∈ ∈ L ( Y ) {\displaystyle B\in {\mathcal {L}}(Y)} , so dass B ( X ) ⊂ ⊂ X {\displaystyle B(X)\subset X} und A = B | X {\displaystyle A=B|_{X}} .

• hyponormal, falls ‖ ‖ A ∗ ∗ x ‖ ‖ ≤ ≤ ‖ ‖ A x ‖ ‖ {\displaystyle \|A^{\ast }x\|\leq \|Ax\|} für alle x ∈ ∈ X {\displaystyle x\in X} .

• paranormal, falls ‖ ‖ A x ‖ ‖ 2 ≤ ≤ ‖ ‖ A 2 x ‖ ‖ ‖ ‖ x ‖ ‖ {\displaystyle \|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|} für alle x ∈ ∈ X {\displaystyle x\in X} .

• normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.: ‖ ‖ A ‖ ‖ = sup { | λ λ | ; λ λ ∈ ∈ σ σ ( A ) } {\displaystyle \|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}} .

Es gelten folgende Implikationen:

normal ⇒ ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } quasinormal ⇒ ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } subnormal ⇒ ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } hyponormal ⇒ ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } paranormal ⇒ ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } normaloid.

Ein unbeschränkter Operator A : D ( A ) ⊆ ⊆ X → → X {\displaystyle A:D(A)\subseteq X\to X} mit Definitionsbereich D ( A ) {\displaystyle D(A)} heißt normal falls

‖ ‖ A x ‖ ‖ = ‖ ‖ A ∗ ∗ x ‖ ‖ , ∀ ∀ x ∈ ∈ D ( A ) = D ( A ∗ ∗ ) {\displaystyle \|Ax\|=\|A^{\ast }x\|,\qquad \forall x\in D(A)=D(A^{\ast })}

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt A ∗ ∗ = A {\displaystyle A^{\ast }=A} .

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.

• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. (freie Online-Version)